Matematikos uždaviniai su automobiliais apima įvairias situacijas - nuo paprastų greičio, laiko ir atstumo skaičiavimų iki sudėtingų tikimybių ir derinių kombinacijų. Šiame straipsnyje apžvelgsime keletą pavyzdžių, kurie iliustruoja, kaip automobilių tematika integruojama į matematikos uždavinius.
Greičio, Laiko ir Atstumo Uždaviniai
Šie uždaviniai yra klasikiniai ir dažnai pasitaikantys matematikos pamokose. Jie padeda lavinti loginį mąstymą ir gebėjimą pritaikyti formules praktinėse situacijose.
Pavyzdys 1: Dviejų automobilių judėjimas ta pačia kryptimi
Du automobiliai išvažiavo vienu metu iš tos pačios vietos ta pačia kryptimi. Pirmojo automobilio greitis yra 80 km/h, antrojo - 60 km/h. Po pusvalandžio iš tos pačios vietos ta pačia kryptimi išvažiavo trečias automobilis, kuris pasivijęs antrąjį dar važiavo 1 val. 15 min., kol pavijo pirmąjį auto. Reikia rasti trečio automobilio greitį.
Sprendimas:
- Per pusvalandį (0,5 h) pirmas automobilis nuvažiavo 0,5 h * 80 km/h = 40 km.
- Antrasis automobilis nuvažiavo 0,5 h * 60 km/h = 30 km.
Tarkime, kad po to, kai išvažiavo trečiasis automobilis, praėjo laiko tarpas t (val.), kol jis pavijo antrąjį. Tuo metu automobiliai jau buvo nuvažiavę:
- 1-as: 40 + 80 * t
- 2-as: 30 + 60 * t
- 3-as: v * t (kur v yra trečio automobilio greitis)
Kai trečiasis automobilis pavijo antrąjį, jų nuvažiuoti atstumai buvo lygūs:
30 + 60t = vt (pirma lygtis)
Po to dar praėjo 1,25 h (1 val. 15 min.) ir trečiasis automobilis pavijo pirmąjį. Per tą laiką jie nuvažiavo papildomai:
- 1-as: 1,25 * 80 = 100 km
- 3-as: v * 1,25 km
Analogiškai, kai trečiasis automobilis pavijo pirmąjį, jų nuvažiuoti atstumai buvo lygūs:
40 + 80t + 1,25 * 80 = vt + 1,25 * v (antra lygtis)
Iš pirmos lygties išreiškus t gauname: t = 30 / (v - 60). Įstačius tai į antrą lygtį, gaunama kvadratinė lygtis. Galimi atsakymai yra 48 km/h arba 100 km/h.
Pavyzdys 2: Automobilis ir motociklas
- Automobilis 240 km nuvažiavo per 3 h, o motociklas - per 4 h. Kiek kilometrų automobilis per 1 h nuvažiavo daugiau negu motociklas?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 3: Autobuso greitis ir atstumas
- Autobusas važiuoja 60 km/h greičiu. Kiek km autobusas nuvažiuos per 3 h?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 4: Du automobiliai, važiuojantys vienas priešais kitą
- Iš dviejų miestų, tarp kurių 190 km, tuo pačiu metu vienas priešais kitą išvažiavo du automobiliai. Vieno automobilio greitis - 75 km/h, o kito - 90 km/h. Koks atstumas tarp jų bus po 3 valandų?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 5: Atstumas tarp miestų
- Automobilis iš vieno miesto į kitą važiuoja 76 km/h greičiu. Po 4 h jam liko važiuoti 100 km. Koks atstumas tarp miestų?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 6: Kelionė traukiniu ir autobusu
- Iš namų iki senelės važiavau 2 h traukiniu ir 1 h autobusu. Traukinio greitis - 60 km/h, o autobuso - 10 km/h mažesnis. Kokį kelią aš nuvažiavau?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 7: Du automobiliai, važiuojantys ta pačia kryptimi
- Iš vienos vietos ta pačia kryptimi išvažiavo du automobiliai. Pirmojo automobilio greitis 105 km/h, antrojo 95 km/h. Koks atstumas bus tarp automobilių po 4 valandų?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 8: Atstumo apskaičiavimas, kai automobiliai važiuoja priešingomis kryptimis
- Iš vienos vietos į priešingas puses išvažiavo du automobiliai. Pirmojo automobilio greitis 85 km/h, antrojo 90 km/h. Koks atstumas bus tarp automobilių po 3 valandų?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Pavyzdys 9: Atstumas tarp miestų, kai automobiliai važiuoja vienas priešais kitą
- Iš dviejų miestų vienas priešais kitą išvažiavo du automobiliai. Kai vienas nuvažiavo 93 km, o kitas 28 km mažiau, tai tarp automobilių buvo likę 79 km. Koks atstumas tarp miestų?
(Atsakymų variantai rodomi tik registruotiems sistemos eTest.lt vartotojams.)
Statistika Apie Automobilius ir Eismo Įvykius
Statistika dažnai naudojama kuriant realistiškus matematikos uždavinius, kurie padeda mokiniams suprasti duomenų analizės svarbą.
Populiariausios markės ir avarijos
Populiariausios Lietuvoje automobilių markės „Volkswagen“ vairuotojai per šiuos metus šalies keliuose ir gatvėse patyrė daugiausiai eismo įvykių. Europos bendrovė „ERGO Insurance“ Lietuvoje šiemet užfiksavo 2091 eismo įvykį, kai nukentėjo būtent šie vokiški automobiliai. „Volkswagen“ vairuotojai taip pat ir dažniausi avarijų kaltininkai. Draudimo bendrovė per šiuos metus registravo 2477 šios markės automobilių vairuotojų sukeltas avarijas. Iš viso nukentėjusių transporto priemonių savininkams per eismo įvykius patirtai žalai atlyginti pagal transporto priemonių valdytojų civilinės atsakomybės draudimo sutartis šiemet jau išmokėta ir dar bus išmokėta beveik 13,8 mln. eurų.
Dažniausios eismo įvykių priežastys išlieka tos pačios: greičio viršijimas, atsargumo stoka ir išsiblaškymas, Kelių eismo taisyklių nesilaikymas, saugaus vairavimo įpročių trūkumas. Anot draudimo eksperto, vairuotojai kelyje turėtų elgtis atsakingai ir atsargiai, nepriklausomai nuo to, kokią transporto priemonę jie vairuoja.
Dažniausiai į avarijas patenkantys automobiliai
„ERGO Insurance“ Lietuvoje duomenimis, dažniausiai į avarijas šiemet pateko 11-12 metų senumo automobiliai. Per 2016 metus per avarijas nukentėjo beveik 1900 tokio amžiaus automobilių. Dažniausiai dėl draudžiamųjų kasko įvykių į draudikus kreipėsi devynerių metų senumo automobilių savininkai. Iš viso „ERGO Insurance“ pagal kasko sutartis klientams dėl šiemet jų patirtų nuostolių išmokėjo ir dar išmokės daugiau nei 11,6 mln. eurų. Metų pradžioje Lietuvoje buvo daugiau nei 1,2 mln. registruotų automobilių.
Tikimybių ir Derinių Uždaviniai su Automobiliais
Šie uždaviniai reikalauja gilesnio matematikos supratimo ir gebėjimo taikyti kombinatorikos principus.
Pavyzdys: Automobilių stovėjimo aikštelė
Automobilių stovėjimo aikštelėje iš viso yra 12 stovėjimo vietų vienoje eilėje. Į šią aikštelę atvyko 8 automobiliai. Aikštelėje vienas automobilis užima vieną vietą.
- Apskaičiuokite, keliais skirtingais būdais 8 automobiliai gali būti pastatyti šiose stovėjimo vietose.
- 8 automobiliai atsitiktinai buvo pastatyti stovėjimo vietose. Apskaičiuokite tikimybę, kad automobiliai buvo pastatyti iš eilės vienas prie kito, nepaliekant tarp jų tuščių stovėjimo vietų.
- 8 automobilius atsitiktinai pastačius stovėjimo vietose, į stovėjimo aikštelę atvyko Greta. Ji mėgsta plačiai atverti vairuotojo pusės duris, todėl jos automobiliui reikia dviejų vietų.
Sprendimas
24.1 Būdų skaičius pastatyti 8 automobilius 12-oje vietų
Šiuo atveju svarbi automobilių tvarka, todėl naudojame gretinius (permutacijas be pasikartojimo). Iš 12 vietų pasirenkame 8 ir jas išdėstome.
n = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 19 958 400
Šis skaičiavimas atitinka P(12, 8) arba A(12, 8).
24.2 Tikimybė, kad automobiliai buvo pastatyti iš eilės
Įvykiui, kai 8 automobiliai stovi iš eilės, palankių baigčių skaičius yra 8! * 5, nes yra 5 galimos pozicijos, kurias gali užimti šis automobilių aštuonetas (pvz., vietos 1-8, 2-9, ..., 5-12).
Tikimybė = (8! * 5) / n = (40320 * 5) / 19958400 = 201600 / 19958400 = 1/99.
24.3 Tikimybė, kad Gretos automobiliui yra dvi gretimos laisvos vietos
Mus dominančiam įvykiui ({yra bent du gretimi tarpai tarp automobilių}) priešingas įvykis yra {jokie du tarpai nėra gretimi}.
Yra 12 vietų ir 8 automobiliai, todėl yra 4 tuščios vietos. Keturias tuščias vietas iš 12 galima pasirinkti C(12, 4) = 495 būdais.
Jei jokie du tarpai negali būti greta, tai 4 tuščios vietos turi būti išdėstytos tarp 8 automobilių ir kraštuose. Yra 9 galimos pozicijos (7 tarp automobilių ir 2 kraštuose).
Tuščių vietų, kurių nė viena nebūtų greta kitos, atsiradimų skaičius yra C(9, 4) = 126 galimybės. Šis skaičius rodo, keliais būdais galima išdėstyti 4 tuščias vietas taip, kad jos nebūtų greta viena kitos, kai jau yra pastatyti 8 automobiliai. Pačių automobilių sustatymo tokia tvarka, jog tarp jų ar kraštiniams iš šono nebūtų daugiau kaip vienos laisvos vietos, yra: 8! * C(9, 4) būdų. Taigi, skaitiklis m = 8! * C(9, 4). Visas baigtis tokiu atveju esame paskaičiavę pirmoje dalyje, t.y. n.
Šis uždavinys iliustruoja, kad sprendžiant tikimybių uždavinius su kombinacijomis, svarbu atsižvelgti, ar automobilių "tvarka svarbi".
tags: #automobilis #matematikos #uzdavinyje